Matematyka i geometria dachu kopertowego

Rys. 1. Więźba wielopłaciowa "kopertowa" dla A1≠A2 - geometria dachu kopertowego
Rys. 1. Więźba wielopłaciowa "kopertowa" dla A1≠A2 - geometria dachu kopertowego 

W poprzednim artykule opisałem matematykę więźby dwupołaciowej oraz wielopołaciowej (tzw. koperty) dla przypadku, gdy kąty pochylenia połaci są jednakowe. W tym artykule opiszę zależności dla przypadku, gdy kąty pochylenia połaci są różne.

Rozważania przeprowadzę na podstawie rys. 1.
Z rysunku wynika, że:

1. B1+B2=90°

2. RD1·tgA1=RD2tgA2

3. RD2=RD1·tgA1tgA2=RD1·y

gdzie

y=tgA1tgA2

4. RP2=yRP1

rozstaw płatwi połaci 2

5. RM2=yRM1

rozstaw murłat połaci 2

Rys. 2. Krokiew narożna - geometria dachu kopertowego
Rys. 2. Krokiew narożna

W pierwszej kolejności wyznaczamy wymiary niezbędne do wykonania krokwi narożnej rys. 2.

Mamy:
Kąt pochylenia krokwi narożnej AN

7. AN=arcsintgA1K

gdzie:

8. K=1+y2+(tgA1)2

Wymiary po grzbiecie krokwi odpowiednio do podcięcia pod płatew, murłatę, całej krokwi wynoszą odpowiednio:

9. LNP=K·RP1

10. LNM=K·RM1

11. LND=K·RD1

Wymiary LNM obowiązuje, gdy okap na połaci szczytowej jest zgodny ze wzorem (6). E praktye jednak okap O2 wykonuje się równy okapowi O1. Murłata na połaci 2 zostaje podniesiona o wielkość DHM(1-2) obliczamy ją ze wzoru:

12. DHM(12)=O1·(tgA2tgA1)(h2h1)

Krokiew narożna oparta jest na narożniku murów w dwóch punktach na wysuniętej murłacie połaci 1 oraz na położonej wyżej murłacie połaci 2.

Wymiary po grzbiecie krokwi do zacięć na murłaty wynoszą odpowiednio:

13. LMN=K·RD1

14. LMN(21)=K·(RD1O1y)

Schemat tego rozwiązania przedstawia rysunek 3.

Rys. 3. Oparcie krokwi narożnej - geometria dachu kopertowego
Rys. 3. Oparcie krokwi narożnej
Rys. 4. Krokiew główne wymiary - geometria dachu kopertowego
Rys. 4. Krokiew główne wymiary

Kąty ścięć u wierzchołka krokwi oraz na okapie wynoszą

15. B1=arctgy

16. B2=arctg(1y)=90B1

Kąty ścięć grzbietu narożnika G1 i G2 obliczamy ze wzorów:

17. G1=90arccos(sinB1·sinA1)

18. G2=90arccos(sinB2·sinA2)

Suma kątów G1 i G2 daje kąt przecięcia połaci G(1-2)

19. G(12)=90arccos(cosA1·cosA2)

Główne wymiary po grzbiecie krokwi dla połaci 1 wyznaczamy ze wzorów:

20. LKP1=RD1cosA1

21. LKM1=RM1cosA1

22. LKD1=RD1cosA1

dla połaci 2

23. LKP2=RP2cosA2

24. LKM2=RM2cosA2

25. LKM(21)=RD2O1cosA2

26. LKD2=RD2cosA2

Dla wyznaczania długości krokwi skróconych przydatne są kąty zawarte między krokwią skróconą a krokwią narożną. Wynoszą one odpowiednio:

27. D1=arccos(1K·cosA1)

28. D2=arccos(1K·cosA2)
Rys. 5. Schemat obliczania długości krokwi skróconej - geometria dachu kopertowego
Rys. 5. Schemat obliczania długości krokwi skróconej

Rozpatrując rysunek 5 można udowodnić, że długość krokwi skróconych dla połaci 1 są odpowiednio:

29. LKk11=LKD1(RK1B)·(1tgD1)dSK1

30. LKk1i=LKk11(I1)Rk1·(1tgD1)

gdzie: i-kolejny numer krokwi skróconej

31. dSK1=BN2·1sinB1·cosA1

dla połaci 2

32. LKk21=LKD2dSK2

33. LKk22=LKk21(Rk2B2)·1tgD2

34. LKk2i=LKk22(I2)Rk2·1tgD2

gdzie:

35. dSK2=BN2·1sinB2·cosA2

dla krokwi skróconej, której położenie określane jest wymiarem Rx długość określana jest wzorami dla połaci 1

36. LKk1x=RD2R1xtgD1dSK1

a dla połaci 2:

36. LKk2x=RD1R2xtgD2dSK2

Korekcja długości krokwi na połaci o większym pochyleniu

Ponieważ dla więźb o różnych pochyleniach, gdy różnica między wartościami pochyleń jest znaczna wykończenie okapu deską okapową staje się kłopotliwe. Rozwiązaniem dla tego problemu jest skrócenie krokwi po jej grzbiecie dla połaci o większym A o wielkość dLK jak na rysunku 6.

Rys. 6. Korekcja długości krokwi, połaci o większym pochyleniu - geometria dachu kopertowego
Rys. 6. Korekcja długości krokwi, połaci o większym pochyleniu
38. dLk=dRkcosA

gdzie

39. dRk=(1y)·Bdo

Bdo – grubość deski okapowej

Mgr inż. Paweł Jatczak
ZUPH „Wizar”
Usługi ciesielskie


Data utworzenia: 19.12.2012


Komentarze

  • biuro napisał(a):

    mam pytanie w równaniu B1= arctgy co oznacza ten "Y" skąd go wziąć lub w jaki sposób wyliczyć. Z racji tego iż jestem nieco dalej niż początkujący bo do tej pory trasowałem dachy metodą wykreślną a chcę wprowadzić w to matematykę dla usprawnienia prac proszę o podpowiedź funkcja arc jak ją wyliczyć. (matematyka nigdy nie była moją mocną stroną ale chęci są ogromne)

  • Maciej napisał(a):

    Do komentarza z 2-03-2019 ws. tego, czy Autor potrafi po ludzku, a nie tylko tangens, kotangens.... Właśnie dzięki takim ignorantom jak Ty, uważam, że cieśla zanim zacznie robić dach powinien zdać egzamin zawodowy. Żeby nie kojarzyć trygonometrii a brać się za dachy trzeba być wyjątkowym nieukiem. Pozdrawiam

  • Gosc napisał(a):

    Tangens kotangens A po LUDZKU potrafisz?

dołącz do dyskusji

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *


Podobne artykuły